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玩转内接多边形(一):任意多边形内均存在内接正三角形

 
 

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via Matrix67: My Blog by Matrix67 on 3/21/10


    这本电子书的第五章非常牛 B ,里面讲到了一系列与多边形的内接图形有关的定理及其证明。有意思的是,同样是研究多边形的内接图形,当具体的研究对象不同时,证明手段也各有各的精彩,并且十分难得的是,这些证明都极具欣赏价值。读完这些巧妙的证明后,我迫不及待地想与大家分享。这里我们先来热热身,看一看最简单的情况:一个多边形内是否总能内接一个等边三角形。

 
 
 

    答案是肯定的,任意一个多边形内总存在一个内接等边三角形。一个非常直观的证明是,令 P 为多边形边界上的一点, Q 点为多边形上的一个动点。以 PQ 为边作等边三角形,把这个三角形的第三点记作 R 。当 Q 离 P 点充分近的时候, R 显然在多边形内部;当 Q 点运动到离 P 点最远处 Q' 时,多边形内的任意一点到 P 的距离都比 PQ' 小,因此此时 R 点只可能在多边形外。但 R 的运动轨迹显然是连续的,因此在运动过程中它一定经过了多边形的边界。此时,我们就找到了多边形边界上的三个点 P 、 Q 、 R ,它们组成了一个等边三角形。


 
 
 

    另一个漂亮的证明如上图所示。令 P 为多边形某条边上的一点,将整个多边形顺时针绕 P 点旋转 60 度。显然, P 点所在的线段经过旋转后,有一部分将落在原多边形内,有一部分将落在原多边形外。因此,旋转后的多边形必然与原多边形的边界有其它交点,否则它的边不可能形成一条封闭的回路。不妨设另一交点为 Q ,再把 Q 点绕 P 逆时针旋转 60 度后得到的点记作 R 点。那么显然 R 点在原多边形上,并且 △PQR 是一个等边三角形。

 
    注:这一系列证明中有很多是不完整的,许多看似显然的细节实际上有待进一步去证明。但是,这仍然不影响我们去欣赏这些优雅的证明(尤其是它们的思路)。

 
 

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