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庞加莱猜想――佩雷尔曼与丘成桐

庞加莱猜想(Poincaré conjecture)

法国人庞加莱(Henri Poincaré)被称为“最后一位数学全才”,在他留下的巨大科学遗产中,有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题,这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。
庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的:“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为:“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。” 简单的说就是:任何一个封闭的三维空间,只要它里面所有的封闭线条都可以收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。
我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻:一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面,而一个吹涨的气球则可以视为二维球面,二者之间的点存在着一一对应的关系,同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点,反之亦然。有趣的是,这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决,唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里,向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。 这个三维的情况就是庞加莱猜想。
2000年,美国一家私人研究机构克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute)宣布,为世界七大数学难题悬赏700万大奖。任何人只要解开其中任何一个难题,将获得100万美元的奖金。”庞加莱猜想”就是这七大难题之一,其他一些难题包括计算机理论界的第一号难题“P Vs. NP”、以杨振宁命名的“杨-米尔斯理论”以及数学领域中最重要的猜想“黎曼假设”等。为了这七大难题,无数科学家费尽一生周折或几十年的光阴,最终选择放弃。人们甚至怀疑,这家研究所送不出哪怕是一分钱。

庞加莱猜想的解决

2002年,一个名叫格里戈里・雅柯夫列维奇・佩雷尔曼(Grigori Perelman,Григорий Яковлевич Перельман)的俄罗斯数学家破解了“庞加莱猜想”。
格里戈里・雅柯夫列维奇・佩雷尔曼(1966年6月13日~)生于当时苏联的列宁格勒(现改称为圣彼得堡),是一位俄罗斯数学家。他是一位里奇流(Ricci flow)的专家。佩雷尔曼的解题方案在于使用里奇流来改变理查德・汉密尔顿的几何化方法。与直接的拓扑学方案相比,这个方案似乎更可行。
在发表在预印本文献库arXiv.org上的一系列文章中,佩雷尔曼用简明扼要的语言扫除了证明“庞加莱猜想”的最终障碍。他的证明完全行得通,全球数学界震惊了。与此同时,小道消息也在不大的数学圈中传开:这个数学家似乎天生对名声就没有兴趣,只是简单地在网络上发表自己的研究,并不打算正式发表自己的论文。他继续隐居在他圣彼得堡的公寓中,偶尔接受媒体的采访,但几乎不和外界接触。
2006年,《科学》杂志以“本年度科学最大突破”之名承认,佩雷尔曼破解了庞加莱猜想,这算是数学界首次承认了他的成就。国际数学界经过反复的检查,认为佩雷尔曼的证明是没错的。紧接着8月22日,数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖被授予佩雷尔曼,这是国际数学联盟对他的正式肯定。然而,他的举动再次惊动世人———他竟然拒绝领取了这个数学界的诺贝尔奖,理由很简单,“这个奖和我没有关系。如果证据是正确的,每个人都能理解它,那么也不需要什么肯定。”
佩雷尔曼同样也拒绝了克莱数学研究所的百万美元奖赏,如果要领取这个奖,他必须将论文发表在相关权威数学期刊上。他始终没有这么做。更令人惊讶的是,不久之后,佩雷尔曼就辞去了他在司捷克洛夫数学研究所的职位,他在辞职信中这么写着: “我对数学厌倦了,我想做不同的事情。”
同样在2006年,丘成桐于6月3日向媒体宣布中国数学家曹怀东和朱熹平彻底证明了庞加莱猜想,引起争议。格里戈里・佩雷尔曼则表示看不出曹、朱证明的新意。《纽约客》杂志的文章《Manifold Destiny》攻击最厉,丘成桐否认纽约客杂志的指控,宣称其虚构事实。文章指曹、朱二人在《亚洲数学期刊》的庞加莱猜想证明未完全经正常审核程序进行发表;丘成桐与亚洲数学期刊的编辑当时并未回应。丘成桐已于2006年9月20日循法律途径向纽约客抗议。曹、朱二人后来在同一杂志登出更正,曹、朱承认部分关键证明使用了他人的工作而当时未注明,此后曹、朱二人并未和丘成桐一起号称自己解决了庞加莱猜想。只是丘成桐仍然号称丘和他的学生曹怀东和朱熹平彻底证明了庞加莱猜想。目前国际数学界认为,首先对庞加莱猜想做出重大贡献的,是著名数学家理查德・汉密尔顿,他给出了解决问题的框架,但是关键的部分停留在猜测。2002年和2003年,佩雷尔曼在网上发表三篇论文,解决了庞加莱猜想的证明。丘成桐号称庞加莱猜想的证明,丘和他的学生贡献非常重大,丘成桐怀疑佩雷尔曼抄袭了丘、朱熹平和曹怀东的证明。很多熟悉佩雷尔曼的研究的欧美数学家认为,丘等三人的论文并没有什么新的贡献,而丘的行为违反了基本的职业道德。此事件目前尚在发展中。
2010年1月31日晚,丘成桐收到以色列教育部部长兼沃尔夫基金会理事长Gideon Sa’ar亲笔签名的信,通知他获得了2010年的沃尔夫数学奖,原因是他“在几何分析方面的贡献已对几何和物理的许多领域产生深远而引人瞩目的影响”。这样,丘成为第一个同时获得Fields和Wolf的华人。
参考资料:
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